Question

5．已知函數(shù)f（x）=log₃（ax+b）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），記a_n=3^f（n），n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，T_n=b₁+b₂+…b_n，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程組關(guān)系，求出a，b，結(jié)合指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出T_n=b₁+b₂+…b_n，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明T_n＜3．

解答 解：（1）∵f（x）=log₃（ax+b）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（2a+b）=1}\\{lo{g}_{3}（5a+b）=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{5a+b=9}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
則f（x）=log₃（2x-1），
則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3^f（n）=${3}^{lo{g}_{3}（2n-1）}$=2n-1，n∈N^*；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
T_n=b₁+b₂+…b_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$  ①，
       $\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$…+$\frac{2n-5}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$ ②，
①-②得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+（$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$＜3．
即T_n＜3．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列求和的計(jì)算，利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．