Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）試通過研究函數(shù)g（x）=（x＞0）的單調(diào)性證明：當(dāng)n＞m＞0時，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（Ⅲ）證明：當(dāng)n＞2013，且x₁，x₂，x₃，…，x_n均為正實數(shù)，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1 時，＞．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系知，可先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0或小于0，解此不等式，所得的解集即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出g′（x），得到函數(shù)g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，從而得到函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，進而得證；
（Ⅲ）由柯西不等式，得到，
再由（Ⅱ）可知，，進而得到，即得證．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）有f′（x）=-ln（x+1），…（1分）
當(dāng)-1＜x＜0，即f′（x）＞0時，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0，即f′（x）＜0時，f（x）單調(diào)遞減；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．      …（3分）
（Ⅱ）設(shè)g（x）=（x＞0），則，…（5分）
由（Ⅰ）知f（x）=x-（x+1）ln（x+1）在（0，+∞）上是減函數(shù)，且f（0）=0，
∴g′（x）＜0在在（0，+∞）恒成立，從而得到函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
又當(dāng)n＞m＞0時，∴g（n）＜g（m），得，
∴mln（n+1）＜nln（m+1），即：（1+n）^m＜（1+m）ⁿ．…（8分）
（Ⅲ）由x₁+x₂+x₃+…+x_n=1，及柯西不等式：
（1+n）
+…²
=（x₁+x₂+x₃+…+x_n）²=1，
所以，
．…（11分）
又n＞2013，由（Ⅱ）可知，
即，即．
則≥．
故．…（14分）
點評：本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其解題步驟為：求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)小于0，解不等式，得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
以及利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于較難的題目．