Question

【題目】已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)平分線段，試求直線的方程；

（2）設(shè)與滿足（1）中條件的直線平行的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，代入橢圓方程，兩式相減可求得直線的斜率，從而得直線方程；（2）設(shè)，同時(shí)設(shè)，下面只要證得即可，為此由得，并把坐標(biāo)代入橢圓方程，變形得，即，同理有， 這兩式相減，并由可證得結(jié)論．

試題解析：（1）設(shè)，則，①，②

①-②得，

即，

又，∴，

故直線的方程為，即．

（2）設(shè)，且，

則有，即，

將點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓方程：

，①，②

②-①得，

易知，故約去得，③．

同理有，④

由④-③得，

由已知斜率為，有，

得，即，即，所以