Question

如圖，已知點(diǎn)E(m,0)(m＞0)為拋物線y²＝4x內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)E作斜率分別為k₁，k₂的兩條直線交拋物線于點(diǎn)A，B，C，D，且M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．

(1)若m＝1，k₁k₂＝－1，求△EMN面積的最小值；

(2)若k₁＋k₂＝1，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)．

 

Answer 1

解　(1)當(dāng)m＝1時(shí)，E為拋物線y²＝4x的焦點(diǎn)，

∵k₁k₂＝－1，∴AB⊥CD.

設(shè)直線AB的方程為y＝k₁(x－1)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由得k₁y²－4y－4k₁＝0，

y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－4.

同理，點(diǎn)N(2k＋1，－2k₁)，

∴S_△EMN＝|EM|·|EN|＝＝2≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)k＝，即k₁＝±1時(shí)，△EMN的面積取得最小值4.

(2)設(shè)直線AB的方程為y＝k₁(x－m)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由得k₁y²－4y－4k₁m＝0，

y₁＋y₂＝，y₁y₂＝－4m，

∵

∴M，

同理，點(diǎn)N，

∴k_MN＝＝k₁k₂.

∴直線MN的方程為

y－＝k₁k₂，即y＝k₁k₂(x－m)＋2，

∴直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(m,2)．