Question

平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：＋＝1(a>b>0)右焦點的直線x＋y－＝0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.

(1)求M的方程；

(2)C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

解　(1)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P₀(x₀，y₀)，

則

由此可得＝1.

因為P為AB的中點，且OP的斜率為，

所以x₁＋x₂＝2x₀，y₁＋y₂＝2y₀，＝.

所以y₀＝x₀，即y₁＋y₂＝(x₁＋x₂)．

所以a²＝2b²，

又由題意知，M的右焦點為(，0)，故a²－b²＝3.

所以a²＝6，b²＝3.

所以M的方程為＋＝1.

(2)將x＋y－＝0代入＋＝1，

解得所以可得|AB|＝；

由題意可設直線CD方程為y＝x＋m，

所以設C(x₃，y₃)，D(x₄，y₄)，

將y＝x＋m代入＋＝1得3x²＋4mx＋2m²－6＝0，則|CD|＝＝，

又因為Δ＝16m²－12(2m²－6)>0，即－3<m<3，

所以當m＝0時，|CD|取得最大值4，

所以四邊形ACBD面積的最大值為

|AB|·|CD|＝.