Question

9．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程為x+$\sqrt{3}$y=0．且焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求該雙曲線的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)漸近線方程可以設(shè)出雙曲線方程為x²-3y²=k，可看出需討論k：k＞0時(shí)，可得到${a}^{2}=k，^{2}=\frac{k}{3}，{c}^{2}=\frac{4k}{3}$，從而可得到準(zhǔn)線方程為$x=±\frac{k}{\sqrt{\frac{4k}{3}}}$，這樣根據(jù)焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$便可得到$\sqrt{\frac{4k}{3}}-\frac{k}{\sqrt{\frac{4k}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而解出k便可得出雙曲線方程，同樣的方法可求出k＜0時(shí)的雙曲線方程．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為x²-3y²=k；
①若k＞0，則a²=k，$^{2}=\frac{k}{3}$，${c}^{2}=\frac{4k}{3}$，∴準(zhǔn)線方程為x=±$\frac{k}{\sqrt{\frac{4k}{3}}}$；
∴$\sqrt{\frac{4k}{3}}-\frac{k}{\sqrt{\frac{4k}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
解得k=9；
∴雙曲線方程為x²-3y²=9；
②若k＜0，則${a}^{2}=-\frac{k}{3}$，b²=-k，${c}^{2}=-\frac{4k}{3}$，∴準(zhǔn)線方程為y=$±\frac{-\frac{k}{3}}{\sqrt{-\frac{4k}{3}}}$；
∴$\sqrt{-\frac{4k}{3}}-\frac{-\frac{k}{3}}{\sqrt{-\frac{4k}{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
解得k=-1；
∴雙曲線方程為x²-3y²=-1．
綜上所述，雙曲線方程為x²-3y²=9或x²-3y²=-1．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的漸近線方程及其求法，雙曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，以及準(zhǔn)線方程．