已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓上的兩點(diǎn)，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求直線AB的斜率；
（3）試問(wèn)：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）根據(jù)題意可求得b，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a和c，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，表示出x1+x2和x1x2，利用
m
•
n
=0建立方程求得k．
（3）先看當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可推斷出x1=x2，y1=-y2，根據(jù)
m
•
n
=0求得x1和y1的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面積；再看當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，利用
m
•
n
=0求得2b2-k2=4，最后利用弦長(zhǎng)公式和三角形面積公式求得答案．
解答： 解：（1）橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，短軸長(zhǎng)為2，
∴
a2-b2
a
=
3
2
2b=2
，
∴a=2，b=1，
∴橢圓方程為
y2
4
+x2=1；
（2）設(shè)AB：y=kx+
3
，代入橢圓方程可得（k2+4）x2+2
3
kx-1=0，
∴x1+x2=-
2
3
k
k2+4
，x1x2=-
1
k2+4
，
∵
m
•
n
=0，
∴4x1x2+y1y2=0，
∴（k2+4）x1x2+
3
k（x1+x2）+3=0，
∴-1-
6k2
k2+4
+3=0，
∴k=±
2
；
（3）①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即x1=x2，y1=-y2，
由
m
•
n
=0，則y12=4x12
又A（x1，y1）在橢圓上，∴x12+
y12
4
=1，
∴|x1|=
2
2
，|y1|=
2
，
∴S=
1
2
|x1|•2|y1|=1
∴三角形的面積為定值1；
②當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+b，代入橢圓方程，可得（k2+4）x2+2kbx+b2-4=0，
得到x1+x2=-
2kb
k2+4
，x1x2=
b2-4
k2+4
，
∵4x1x2+y1y2=0，
∴（k2+4）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，
∴（k2+4）
b2-4
k2+4
+kb（-
2kb
k2+4
）+b2=0，
∴2b2-k2=4，
∴S=
|b|
1+k2
|AB|=
1
2
|b|
(x1+x2)2-4x1x2
=
|b|
4k2-4b2+16
k2+4
=
4b2
2|b|
=1，
∴三角形的面積為定值1．
綜上，三角形的面積為定值1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)F為橢圓C：
x2
2
+y2=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，3），則|PQ|+|PF|取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為不等式
y≤1
x+y-2≥0
x-y-1≤0
所表示的平面區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OP斜率的最大值為（　�。�
A、2
B、1
C、
1
2
D、
1
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（x-
π
6
）sin（x+
π
3
），x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，若A=
π
4
，銳角C滿足f（
C
2
+
π
6
）=
1
2
，求
BC
AB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C的方程為
x2
12
+
y2
b2
=1(b2＜12)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之比為
3
：
2
，圓O的圓心在原點(diǎn)O，且經(jīng)過(guò)橢圓C的短軸頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C和圓O的方程；
（2）是否存在同時(shí)滿足下列條件的直線l：
    ①與圓O相切與點(diǎn)M（M位于第一象限）；
    ②與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，使得
OA
•
OB
=2．若存在，求出此直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其對(duì)邊分別為a、b、c，若
m
=(cosB，sinB)，
n
=(cosC，-sinC)，且
m
•
n
=
1
2
．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2
3
， b+c=4，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，點(diǎn)P（0，-1）是橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：x2+y2=4的直徑．l1，l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中斜率為k的直線l1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D
（1）求橢圓C1的方程；
（2）試用k表示△ABD的面積S；
（3）求△ABD面積S取最大值時(shí)直線l1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)A，B，直線OA（O為原點(diǎn)）交準(zhǔn)線l于點(diǎn)M，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求證：y1y2是一個(gè)定值；
（2）求證：直線MB平行于x軸．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下列命題中：
①若p、q為兩個(gè)命題，則“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件；
②若p為：存在x∈R，x2+2x+2≤0，則p為：任意x∈R，x2+2x+2＞0；
③已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的必要不充分條件；
④若a＜0，-1＜b＜0，則ab＞ab2＞a．
所有正確命題的序號(hào)是
 
．

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