Question

如圖，點(diǎn)P（0，-1）是橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個頂點(diǎn)，C₁的長軸是圓C2：x2+y2=4的直徑．l₁，l₂是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中斜率為k的直線l₁交圓C₂于A，B兩點(diǎn)，l₂交橢圓C₁于另一點(diǎn)D
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）試用k表示△ABD的面積S；
（3）求△ABD面積S取最大值時直線l₁的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得到b=1，且2a=4，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線l₁：y=kx-1，直線l2：y=-

1

k

x-1⇒x+ky+k=0，求出圓心（0，0）到直線l₁的距離，從而得到直線l₁被圓x²+y²=4所截的弦，由此能用k表示△ABD的面積S．
（3）S=

8 4k2+3

k2+4

=

4×8 4k2+3

4k2+3+13

，利用均值定理能求出△ABD面積S取最大值時直線l₁的方程．

解答： 解：（1）由已知得到b=1，且2a=4，
∴a=2，∴橢圓的方程是

x2

4

+y2=1．
（2）∵直線l₁⊥l₂，且都過點(diǎn)P（0，-1），
∴設(shè)直線l₁：y=kx-1，
∴kx-y-1=0，直線l2：y=-

1

k

x-1⇒x+ky+k=0，
∴圓心（0，0）到直線l₁：y=kx-1即kx-y-1=0的距離為d=

1

1+k2

，
∴直線l₁被圓x²+y²=4所截的弦AB=2

4-d2

=

2 3+4k2

1+k2

，
 由

x+ky+k=0 x2 4 +y2=1

⇒k2x2+4x2+8kx=0，
∴xD+xP=-

8k

k2+4

，
∴|DP|=

(1+(- 1 k  )2)•(- 8k k2+4 )2

=

8 k2+1

k2+4

，
∴S=

1

2

|AB||DP|=

1

2

×

2 3+4k2

1+k2

×

8 k2+1

k2+4

=

8 4k2+3

k2+4

．
（3）S=

8 4k2+3

k2+4

=

4×8 4k2+3

4k2+3+13

=

32

4k2+3 4k2+3 + 13 4k2+3

=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

32

2 13

=

16

13

13

，
當(dāng)

4k2+3

=

13

4k2+3

⇒k2=

5

2

⇒k=±

10

2

時等號成立，
此時直線，l1：y=±

10

2

x-1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的求法，考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．