Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（x-

π

6

）sin（x+

π

3

），x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，若A=

π

4

，銳角C滿足f（

C

2

+

π

6

）=

1

2

，求

BC

AB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）解析式變形后，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)第一問確定出的解析式，由f（

C

2

+

π

6

）=

1

2

，求出C的度數(shù)，再由A的度數(shù)，利用正弦定理即可求出所求式子的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-

π

6

）sin[

π

2

+（x-

π

6

）]=2sin（x-

π

6

）cos（x-

π

6

）=sin（2x-

π

3

），
∵ω=2，∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（

C

2

+

π

6

）=sin[2（

C

2

+

π

6

）-

π

3

]=sinC，
由已知sinC=

1

2

，
又角C為銳角，
∴C=

π

6

，
∵A=

π

4

，
∴由正弦定理

BC

sinA

=

AB

sinC

，得

BC

AB

=

sinA

sinC

=

2 2

1 2

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．