Question

如圖，已知橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

b2

=1(b2＜12)，且長軸長與焦距之比為

3

：

2

，圓O的圓心在原點O，且經(jīng)過橢圓C的短軸頂點．
（1）求橢圓C和圓O的方程；
（2）是否存在同時滿足下列條件的直線l：
    ①與圓O相切與點M（M位于第一象限）；
    ②與橢圓C相交于A、B兩點，使得

OA

•

OB

=2．若存在，求出此直線方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

2 12

2 12-b2

=

3

2

，由此能求出橢圓C的方程；由已知條件推導出圓O的圓心為原點，半徑為b，由此能求出圓O的方程．
（2）存在．設直線l：y=kx+b（k＜0，b＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由條件①推導出

x1+x2= -6kb 3k2+1 x1x2= 3b2-12 3k2+1

，由條件②推導出x₁x₂+y₁y₂=2，由此能求出此直線方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

b2

=1(b2＜12)，
且長軸長與焦距之比為

3

：

2

，
∴

2 12

2 12-b2

=

3

2

，解得b²=4，
∴橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
又∵圓O的圓心在原點O，且經(jīng)過橢圓C的短軸頂點，
∴半徑為b=2，
∴圓O的方程為x²+y²=4．
（2）存在．設直線l：y=kx+b（k＜0，b＞0），
其與橢圓C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由條件①可得|OM|=2，即

|b|

1+k2

=2，
解得b²=4（1+k²），＜1＞
再由

y=kx+b(k＜0，b＞0) x2 12 + y2 4 =1

，得：x²+3（kx+b）²-12=0，
整理，得（3k²+1）x²+6kbx+3b²-12=0，
∴

x1+x2= -6kb 3k2+1 x1x2= 3b2-12 3k2+1

，
由條件②可得x₁x₂+y₁y₂=2，
∴x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=2，
∴（k²+1）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²-2=0，
進而可化簡（k²+1）•

3b2-12

3k2+1

-kb•

6kb

3k2+1

+b²-2=0，
∴9k²-2b²+7=0，＜2＞
綜合＜1＞，＜2＞，解得

k2=1 b2=8

，
又k＜0，b＞0，
∴

k=-1 b=2 2

，∴l：x+y-2

2

=0．

點評：本題考查橢圓方程與圓的方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用，注意函數(shù)與方程思想、等價轉化思想的合理運用．