Question

設(shè)函數(shù)f（x）=3^{|x+1|+|x-1|-a}，則使f（x）≥

3

恒成立的a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：依題意，利用指數(shù)函數(shù)y=3^x的單調(diào)性可得|x+1|+|x-1|-a≥

1

2

恒成立．令g（x）=|x+1|+|x-1|，易求g（x）_min=2，從而可得a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=3^{|x+1|+|x-1|-a}≥

3

=3

1

2

恒成立，y=3^x為增函數(shù)，
∴|x+1|+|x-1|-a≥

1

2

恒成立．
∴a+

1

2

≤|x+1|+|x-1|恒成立．
令g（x）=|x+1|+|x-1|，
則a+

1

2

≤g（x）_min，
∵g（x）=|x+1|+|x-1|≥|x+1+1-x|=2，
∴g（x）_min=2，
∴a+

1

2

≤2，
解得：a≤

3

2

，即a的取值范圍為（-∞，

3

2

]．
故答案為：（-∞，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查構(gòu)造函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與恒成立問題，求得g（x）=|x+1|+|x-1|的最小值是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．