Question

如圖在單位圓中，
（1）證明兩角差的余弦公式C_α-β：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；并由C_α-β推導(dǎo)兩角差的正弦公式S_α-β：sin（α-β）．
（2）計算：sin15°的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）在平面直角坐標系中，以原點為圓心，作一單位圓，再以原點為頂點，x軸非負半軸為始邊分別作角α，β．設(shè)它們的終邊分別交單位圓于點P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），即有兩單位向量 

OP1

，

OP2

，它們的所成角是|α-β|，根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)能夠證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．先由誘導(dǎo)公式得sin（α+β）=cos（ 

π

2

-α-β）=cos[（

π

2

-α）-β]，展開可得cos（ 

π

2

-α）cosβ+sin（

π

2

-α）sinβ，然后利用和差公式和誘導(dǎo)公式能夠得到sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
（2）直接利用公式求解表達式sin15°的值即可．

解答： 解：（1）如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，
作一單位圓，再以原點為頂點，
x軸非負半軸為始邊分別作角α，β．
設(shè)它們的終邊分別交單位圓于點P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），…（4分）
即有兩單位向量

OP1

，

OP2

，
它們的所成角是|α-β|，
根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)得：

OP1

•

OP2

=cos（α-β）=cos|α-β|①
又根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算得：

OP1

•

OP2

=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①②得 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ…（9分）
sin（α+β）=cos（

π

2

-α-β）=cos[（

π

2

-α）-β]…（11分）
=cos（

π

2

-α）cosβ+sin（

π

2

-α）sinβ…（13分）
=sinαcosβ+cosαsinβ，
即有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…（15分）
（2）sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=

2

2

×

3

2

-

2

2

×

1

2

=

6 - 2

4

．

點評：本題考查平面向量的綜合應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，利用三角函數(shù)的性質(zhì)合理地進行等價轉(zhuǎn)化．