Question

【題目】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且

求拋物線的方程；

動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得的坐標(biāo)，代入拋物線方程，解得，進(jìn)而得到拋物線的方程；在軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，使得與向量共線，可得軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，根據(jù)恒成立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡整理可得的方程，求得，可得結(jié)論．

拋物線C：的焦點(diǎn)為，

準(zhǔn)線方程為，

即有，即，

則，解得，

則拋物線的方程為；

在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，

使得與向量共線，

由，均為單位向量，且它們的和向量與共線，

可得x軸平分，

設(shè)，，

聯(lián)立和，

得，

恒成立．

，

設(shè)直線DA、DB的斜率分別為，，

則由得，

，

，

聯(lián)立，得，

故存在滿足題意，

綜上，在x軸上存在一點(diǎn)，使得x軸平分，

即與向量共線．