Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+

1

2

，面積S滿(mǎn)足1≤S≤2，記a，b，c分別為A，B，C所對(duì)的邊，在下列不等式一定成立的是（　�。�

• A、bc（b+c）＞8
• B、ab（a+b）＞16

  2

• C、6≤abc≤12
• D、12≤abc≤24

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,二倍角的正弦

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：根據(jù)正弦定理和三角形的面積公式，利用不等式的性質(zhì) 進(jìn)行證明即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+

1

2

，
∴sin2A+sin2B=-sin2C+

1

2

，
∴sin2A+sin2B+sin2C=

1

2

，
∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B-C）=

1

2

，
2sinA（cos（B-C）-cos（B+C））=

1

2

，
化為2sinA[-2sinBsin（-C）]=

1

2

，
∴sinAsinBsinC=

1

8

．
設(shè)外接圓的半徑為R，
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
由S=

1

2

absinC，及正弦定理得sinAsinBsinC=

S

2R2

=

1

8

，
即R²=4S，
∵面積S滿(mǎn)足1≤S≤2，
∴4≤R²≤8，即2≤R≤2

2

，
由sinAsinBsinC=

1

8

可得8≤abc≤16

2

，顯然選項(xiàng)C，D不一定正確，
A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正確，
B．a(chǎn)b（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16

2

，不一定正確，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和差化積公式、正弦定理、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．