【題目】已知點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),動圓與軸相切于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn),過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)(均不同于點(diǎn)),且與交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)證明:為定值,并求的方程;
(2)設(shè)直線與的另一個交點(diǎn)為,直線與交于兩點(diǎn),當(dāng)三點(diǎn)共線時,求四邊形的面積.
【答案】(1)證明見解析,方程為.
(2) .
【解析】分析:(1)根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得, ,從而根據(jù)橢圓的可得結(jié)果;(2)直線與曲線聯(lián)立,利用韋達(dá)定理、弦長公式以及三角形面積公式可得四邊形的面積為.
詳解:(1)由已知可得|PD|=|PE|,|BA|=|BD|,|CE|=|CA|,
所以|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|PC|
=|PE|+|PC|+|AB|
=|CE|+|AB|
=|AC|+|AB|=4>|BC|
所以點(diǎn)P的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的橢圓(去掉與x軸的交點(diǎn)),
可求的方程為+=1(y≠0).
(2)由O,D,C三點(diǎn)共線及圓的幾何性質(zhì),可知PB⊥CD,
又由直線CE,CA為圓O的切線,可知CE=CA,OA=OE,
所以△OAC≌△OEC,進(jìn)而有∠ACO=∠ECO,
所以|PC|=|BC|=2,又由橢圓的定義,|PB|+|PC|=4,得|PB|=2,
所以△PBC為等邊三角形,即點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,±)
(i)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,)時,∠PBC=60,∠BCD=30,
此時直線l1的方程為y= (x+1),直線CD的方程為y=- (x-1),
由整理得5x2+8x=0,得Q(-,-),所以|PQ|=,
由整理得13x2-8x-32=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2=,x1x2=-,
|MN|=|x1-x2|=,
所以四邊形MPNQ的面積S=|PQ|·|MN|=.
(ii)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-)時,由橢圓的對稱性,四邊形MPNQ的面積為.
綜上,四邊形MPNQ的面積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A. 甲、乙二人比賽,甲勝的概率為,則比賽5場,甲勝3場
B. 某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個病人沒有治愈,則第10個病人一定治愈
C. 隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等
D. 天氣預(yù)報(bào)中,預(yù)報(bào)明天降水概率為90%,是指降水的可能性是90%
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【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)為,且離心率為.
(1)求橢圓方程;
(2)斜率為的直線過點(diǎn)F,且與橢圓交于兩點(diǎn),P為直線上的一點(diǎn),
若為等邊三角形,求直線的方程.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB.
(1)求證:CD⊥AP;
(2)若CD⊥PD,求證:CD∥平面PAB;
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【題目】已知橢圓:的左焦點(diǎn),離心率為,點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn),且的最小值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線過橢圓的左焦點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),且的面積為,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在處的切線與直線平行,求實(shí)數(shù)的值;
(2)試討論函數(shù)在區(qū)間上最大值;
(3)若時,函數(shù)恰有兩個零點(diǎn),求證:.
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【題目】一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.
(Ⅰ)請按字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點(diǎn)處(不需要說明理由)
(Ⅱ)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說明你的結(jié)論.
(Ⅲ)證明:直線DF平面BEG
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【題目】下列四種說法正確的是( )
①若和都是定義在上的函數(shù),則“與同是奇函數(shù)”是“是偶函數(shù)”的充要條件
②命題 “”的否定是“ ≤0”
③命題“若x=2,則”的逆命題是“若,則x=2”
④命題:在中,若,則;
命題:在第一象限是增函數(shù);
則為真命題
A. ①②③④ B. ①③ C. ③④ D. ③
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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