Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)圓與軸相切于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)（均不同于點(diǎn)），且與交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）證明：為定值，并求的方程；

（2）設(shè)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析，方程為.

(2) .

【解析】分析：（1）根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得， ，從而根據(jù)橢圓的可得結(jié)果；（2）直線與曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及三角形面積公式可得四邊形的面積為.

詳解：（1）由已知可得|PD|＝|PE|，|BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|，

所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC|

＝|PE|＋|PC|＋|AB|

＝|CE|＋|AB|

＝|AC|＋|AB|＝4＞|BC|

所以點(diǎn)P的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓（去掉與x軸的交點(diǎn)），

可求的方程為＋＝1(y≠0)．

（2）由O，D，C三點(diǎn)共線及圓的幾何性質(zhì)，可知PB⊥CD，

又由直線CE，CA為圓O的切線，可知CE＝CA，OA＝OE，

所以△OAC≌△OEC，進(jìn)而有∠ACO＝∠ECO，

所以|PC|＝|BC|＝2，又由橢圓的定義，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2，

所以△PBC為等邊三角形，即點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，±)

(i)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，)時(shí)，∠PBC＝60，∠BCD＝30，

此時(shí)直線l1的方程為y＝ (x＋1)，直線CD的方程為y＝－ (x－1)，

由整理得5x2＋8x＝0，得Q(－，－)，所以|PQ|＝，

由整理得13x2－8x－32＝0，

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝－，

|MN|＝|x1－x2|＝，

所以四邊形MPNQ的面積S＝|PQ|·|MN|＝．

(ii)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－)時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性，四邊形MPNQ的面積為．

綜上，四邊形MPNQ的面積為．