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【題目】如圖兩個同心球，球心均為點，其中大球與小球的表面積之比為3:1，線段與是夾在兩個球體之間的內弦，其中兩點在小球上，兩點在大球上，兩內弦均不穿過小球內部.當四面體的體積達到最大值時，此時異面直線與的夾角為，則（ ）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

首先判斷出正方體內切球和外接球的半徑比為，內切球和外接球的表面積之比為，符合題意中的小球和大球的比例.判斷當四面體體積最大時，的位置關系，作出異面直線所成的角，解直角三角形求得.

設正方體的邊長為，則其內切球半徑為，外接球的半徑為，所以內切球和外接球的表面積之比為，符合題意中的小球和大球的比例. 依題意最長為，最長為小球的直徑.由于三角形的面積，若為定值，則時面積取得最大值.畫出圖像如下圖所示，其中分別是所在正方形的中心，是正方體內切球與外接球的球心..由于，故此時四面體的體積最大.

由于，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以是異面直線和所成的角.所以由于，設是的中點，則，所以，所以.

故選：A

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是( )

A.兩條相交直線在同一平面內的射影必為相交直線

B.不共線三點到平面的距離相等，則這三點確定的平面不一定與平面平行

C.對確定的兩異面直線，過空間任一點有且只有一個平面與兩異面直線都平行

D.兩個相交平面的交線是一條線段

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】十九大提出，加快水污染防治，建設美麗中國.根據環(huán)保部門對某河流的每年污水排放量（單位：噸）的歷史統(tǒng)計數據，得到如下頻率分布表：

將污水排放量落入各組的頻率作為概率，并假設每年該河流的污水排放量相互獨立.

（1）求在未來3年里，至多1年污水排放量的概率；（2）該河流的污水排放對沿河的經濟影響如下：當時，沒有影響；當時，經濟損失為10萬元；當時，經濟損失為60萬元.為減少損失，現有三種應對方案：

方案一：防治350噸的污水排放，每年需要防治費3.8萬元；

方案二：防治310噸的污水排放，每年需要防治費2萬元；

方案三：不采取措施.

試比較上述三種文案，哪種方案好，并請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】曾玉、劉云、李夢、張熙四人被北京大學、清華大學、武漢大學和復旦大學錄取，他們分別被哪個學校錄取，同學們做了如下的猜想

甲同學猜：曾玉被武漢大學錄取，李夢被復旦大學錄取

同學乙猜：劉云被清華大學錄取，張熙被北京大學錄取

同學丙猜：曾玉被復旦大學錄取，李夢被清華大學錄取

同學丁猜：劉云被清華大學錄取，張熙被武漢大學錄取

結果，恰好有三位同學的猜想各對了一半，還有一位同學的猜想都不對

那么曾玉、劉云、李夢、張熙四人被錄取的大小可能是（ ）

A.北京大學、清華大學、復旦大學、武漢大學

B.武漢大學、清華大學、復旦大學、北京大學

C.清華大學、北京大學、武漢大學 、復旦大學

D.武漢大學、復旦大學、清華大學、北京大學

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若、是兩個相交平面，則在下列命題中，真命題的序號為（ ）

①若直線，則在平面內一定不存在與直線平行的直線．

②若直線，則在平面內一定存在無數條直線與直線垂直．

③若直線，則在平面內不一定存在與直線垂直的直線．

④若直線，則在平面內一定存在與直線垂直的直線．

A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】給出下列命題：

①命題“若，則方程無實根”的否命題；

②命題“在中，，那么為等邊三角形”的逆命題；

③命題“若，則”的逆否命題；

④“若，則的解集為”的逆命題；

其中真命題的序號為（ ）

A.①②③④B.①②④C.②④D.①②③

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了適應高考改革，某中學推行“創(chuàng)新課堂”教學．高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學”的教學方式授課，高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學方式授課，為了比較教學效果，期中考試后，分別從兩個班中各隨機抽取名學生的成績進行統(tǒng)計分析，結果如下表：（記成績不低于分者為“成績優(yōu)秀”）

分數

甲班頻數

乙班頻數

（Ⅰ）由以上統(tǒng)計數據填寫下面的列聯表，并判斷是否有以上的把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”？

甲班

乙班

總計

成績優(yōu)秀

成績不優(yōu)秀

總計

（Ⅱ）現從上述樣本“成績不優(yōu)秀”的學生中，抽取人進行考核，記“成績不優(yōu)秀”的乙班人數為，求的分布列和期望．

參考公式：，其中．

臨界值表

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【題目】漢諾塔(又稱河內塔)問題是源于印度一個古老傳說的益智玩具大梵天創(chuàng)造世界的時候做了三根金剛石柱子，在一根柱子上從下往上按照大小順序摞著64片黃金圓盤大梵天命令婆羅門把圓盤從下面開始按大小順序重新擺放在另一根柱子上.并且規(guī)定，在小圓盤上不能放大圓盤，在三根柱子之間一次只能移動一個圓盤.如下圖所示，從左到右有ABC三根柱子，其中A柱子上面有從小疊到大的n個圓盤，現要求將A柱子上的圓盤移到C柱子上去，期間只有一個原則:一次只能移動一個盤子且大盤子不能在小盤子上面，則移動的次數為_______(用表示)

ABC

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