【題目】已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為,短軸長(zhǎng)為,直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線與圓相切,證明:為定值
【答案】(1)(2)詳見(jiàn)解析
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的有關(guān)知識(shí)可得,從而可得橢圓的方程;
(2)分直線的斜率存在與否兩種情況求解.①當(dāng)的斜率不存在時(shí),其方程為,可得、的坐標(biāo),由向量的數(shù)量積可得;②當(dāng)的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,由直線與圓相切得.然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立、消元,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系由數(shù)量積可得,從而可得.綜上可得為定值.
(1)由題意得,
∴橢圓的方程為
(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),因?yàn)橹本與圓相切,所以直線方程為.
當(dāng)時(shí),可得M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
,.
當(dāng)時(shí),同理可得;
②當(dāng)的斜率存在時(shí),設(shè),
由題意得,,
由,消去整理得,
∵直線與圓相交,∴
設(shè),則,,
,
.
綜上(定值) .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,若圓的一條切線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且.
(1)求圓的方程;
(2)已知橢圓的上頂點(diǎn)為,點(diǎn)在圓上,直線與橢圓相交于另一點(diǎn),且,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的底面是正三角形,底面,M為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若,且沿側(cè)棱展開(kāi)三棱柱的側(cè)面,得到的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)為,求作點(diǎn)在平面內(nèi)的射影H,請(qǐng)說(shuō)明作法和理由,并求線段AH的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】世紀(jì)中葉,中國(guó)數(shù)學(xué)家賈憲給出了直到六次冪的二項(xiàng)式系數(shù)表,如圖所示是《楊輝詳解九章算法》開(kāi)方作法本原,其中第層即為展開(kāi)式的系數(shù).賈憲稱整張數(shù)表為“開(kāi)放作法本原”,今稱“賈憲三角”但賈憲未給出二項(xiàng)式系數(shù)的一般公式,因而未能建立一般正整數(shù)次冪的二項(xiàng)式定理.賈憲的數(shù)學(xué)著作已失傳,世紀(jì)數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中引用了開(kāi)放作法本原圖,注明此圖出“《釋鎖算數(shù)》,賈憲用此術(shù)”,因而流傳至今.只是后人往往因此把它誤稱為“楊輝三角”.展開(kāi)式中的系數(shù)為,①則實(shí)數(shù)的值為_______________,②展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為__________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),若以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若是曲線上的任意一點(diǎn),是曲線上的任意一點(diǎn),求線段的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在射線上,且滿足.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與相交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生的數(shù)學(xué)與語(yǔ)文的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表:
數(shù)學(xué)(x) 人數(shù) 語(yǔ)文(y) | 90分~100分 (數(shù)A) | 80分~90分 (數(shù)B) | 60分~80分 (數(shù)C) |
90分~100分 (語(yǔ)A) | 20 | 7 | 5 |
80分~90分 (語(yǔ)B) | 18 | 9 | 6 |
60分~80分 (語(yǔ)C) | 4 | a | b |
設(shè)x,y分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī),若抽取學(xué)生n人,成績(jī)?cè)?/span>90分~100分者記為A等級(jí)(優(yōu)秀),成績(jī)?cè)?/span>80分~90分者記為B等級(jí)(良好),成績(jī)?cè)?/span>60分~80分者記為C等級(jí)(及格).例如:表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>A等級(jí)的共有人.已知x與y均為B等級(jí)的概率是0.09.
(1)若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績(jī)良好率是30%,求a,b的值;
(2)在語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?/span>C等級(jí)的學(xué)生中,已知,,求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>B等級(jí)的人數(shù)比C等級(jí)的人數(shù)少的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)在給出三個(gè)條件:①a=2;②B;③cb.試從中選出兩個(gè)條件,補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,使其能夠確定△ABC,并以此為依據(jù),求△ABC的面積.
在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,且滿足,求△ABC的面積(選出一種可行的方案解答,若選出多個(gè)方案分別解答,則按第一個(gè)解答記分)
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