Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n且滿足條件：

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n有

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1（n∈N^*），b₁=3，又c_n=

2an+1

bn-1

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和W_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

（n∈N^*），令n=1易求a₂=2，從而得公差d，進(jìn)而得到a_n；
（Ⅱ）由

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1可得T_n+1-T_n=2b_n-1，從而有b_n+1=2b_n-1，易知{b_n-1}是等比數(shù)列，據(jù)此可求得b_n=2ⁿ+1，于是可得c_n，利用錯(cuò)位相減法可求得W_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵

S2n

Sn

=

4n+2

n+1

（n∈N^*）
∴當(dāng)n=1，則

S2

S1

=3，

a2+a1

a1

=3，結(jié)合a₁=1，得a₂=2，
∴d=a₂-a₁=1，a_n=a₁+（n-1）d=n，
∴a_n=n（n∈N^*）；
（Ⅱ）由

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1可得T_n+1-b_n+1=T_n+b_n，
∴T_n+1-T_n=2b_n-1，即b_n+1=2b_n-1，b_n+1-1=2（b_n-1），
∴{b_n-1}是等比數(shù)列且b₁=3，公比q=2，
∴b_n-1=(b1-1)qn-1=2×2^n-1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ+1，
∴c_n=

2an+1

bn-1

=

2n+1

2n

=（2n+1）•(

1

2

)n，
∴W_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=3×

1

2

+5×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+(2n+1)×(

1

2

)n，

1

2

W_n=3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+7×(

1

2

)4+…+(2n+1)×(

1

2

)n+1，
相減得，

1

2

W_n=3×

1

2

+2×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+2×(

1

2

)n-(2n+1)×(

1

2

)n+1
=

1

2

+2(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n+1

2n+1

=

1

2

+2×

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

=

1

2

+2×(1-

1

2n

)-

2n+1

2n+1

∴W_n=5-

2n-5

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)及數(shù)列求和等知識(shí)，利用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．