Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項之積T_n滿足條件：①{

1

Tn

}為首項為2的等差數(shù)列；②T₂-T₅=

1

6

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=

n n+2

-a_n，其前n項和為S_n．求證：對任意正整數(shù)n，有0＜S_n＜

1

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的通項公式和題意求出數(shù)列{

1

Tn

}公差d，再由等差數(shù)列的通項公式求出

1

Tn

，即可求出T_n，由題意可得當n≥2時，an=

Tn

Tn-1

，代入化簡并驗證n=1時是否成立即可；
（2）把a_n代入b_n=

n n+2

-a_n利用分子有理化進行化簡，判斷出b_n＞0再得S_n＞0，再利用

n n+2

＞

n

n+1

對
b_n放大：bn=

n2 (n+2)n - n2 (n+1)2

n n+2 + n n+1

＜

n2 (n+2)n - n2 (n+1)2

2× n n+1

，利用裂項相消法可得到S_n＜

1

4

．

解答： 解：（1）設數(shù)列{

1

Tn

}公差為d，
因為數(shù)列{

1

Tn

}首項為2，所以T2=

1

2+d

，T5=

1

2+4d

，
由方程T2-T5=

1

6

可得

1

2+d

-

1

2+4d

=

1

6

，解得d=1，
所以

1

Tn

=2+(n-1)×1=n+1，即Tn=

1

n+1

，
因為數(shù)列{a_n}的前n項之積T_n，
所以當n≥2時，an=

Tn

Tn-1

=

1 n+1

1 n

=

n

n+1

，
當n=1時，a1=T1=

1

2

符合，所以an=

n

n+1

，

證明：（2）由（1）得，
bn=

n n+2

-an=

n n+2

-

n

n+1

=

n n+2 -( n n+1 )2

n n+2 + n n+1

=

n2 (n+2)n - n2 (n+1)2

n n+2 + n n+1

＞0，
所以數(shù)列{b_n}前n項和S_n＞0，
同由上面可知：

n n+2

＞

n

n+1

，bn=

n2 (n+2)n - n2 (n+1)2

n n+2 + n n+1

＜

n2 (n+2)n - n2 (n+1)2

2× n n+1

=

n2 (n+2)n(n+1)2

2× n n+1

=

1

2(n+1)(n+2)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+2

)，
所以

Sn=b1+b2+b3+…+bn＜ 1 2 [( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )+…+( 1 n+1 - 1 n+2 )]

= 1 2 ( 1 2 - 1 n+2 )＜ 1 4

，
綜上可得，0＜S_n＜

1

4

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式，裂項相消法求數(shù)列的和，利用放縮法證明數(shù)列與不等式的問題，考查靈活變形、化簡能力，屬于難題．