Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2；
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的增減性，并證明．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的解析式，求出定義域，判斷是否關(guān)于原點對稱，計算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（2）f（x）在（1，+∞）上遞增，運用定義法證明，注意作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟．

解答： 解：（1）f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2，
則1+m=2，解得m=1，
f（x）=x+

1

x

，
定義域為{x|x≠0，x∈R}，關(guān)于原點對稱，
f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）在（1，+∞）上遞增，
理由如下：設(shè)1＜m＜n，則f（m）-f（n）=m+

1

m

-（n+

1

n

）=（m-n）+

n-m

mn

=（m-n）•

mn-1

mn

由于1＜m＜n，則m-n＜0，mn＞1，即mn-1＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，即有f（m）＜f（n）．
則f（x）在（1，+∞）上遞增．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，考查定義法的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．