Question

已知點(diǎn)M在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)F．若圓M與y軸相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABM是邊長(zhǎng)為2的正三角形．
（1）求橢圓的方程和圓M的方程．
（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3），M、N是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

DM

=λ

DN

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，應(yīng)該先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)及圓的半徑，利用題中的條件建立方程求出圓的半徑與a，b的關(guān)系，進(jìn)而求解出橢圓的方程；
（2）設(shè)N（s，t），M（x，y），則由

DM

=λ

DN

，可得x=λs，y=3+λ （t-3），利用M、N在曲線C上，可得t=

5λ-1

2λ

，結(jié)合|t|≤

6

，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)M（x₀，y₀），圓M的半徑為r．
因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），圓M與x軸相切于點(diǎn)F，
所以MF⊥x軸，所以x₀=c，r=|y₀|①
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以

x02

a2

+

y02

b2

=1
將上式代入，結(jié)合a²-c²=b²，
可得r=

b2

a

②
因?yàn)椤鰽BM是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以圓M的半徑r=2，
所以

b2

a

=2，d=c=

3

又因?yàn)閍²-b²=c²
從而有a²-2a-3=0解得：a=3或a=-1（舍去）
所以b²=2a=6
所求橢圓方程是：

x2

9

+

y2

6

=1；
（2）設(shè)N（s，t），M（x，y），則由

DM

=λ

DN

，
可得（x，y-3）=λ （s，t-3）．
故x=λs，y=3+λ （t-3）．
∵M(jìn)、N在曲線C上，
∴

s2

9

+

t2

6

=1，

λ2s2

9

+

(3+λt-3λ)2

6

=1
由題意知λ≠0，且λ≠1，消去s，
解得t=

5λ-1

2λ

又|t|≤

6

，
∴|

5λ-1

2λ

|≤

6

．
解得5-2

6

≤λ≤5+2

6

（λ≠1）．
故實(shí)數(shù)λ的取值范圍是5-2

6

≤λ≤5+2

6

（λ≠1）．

點(diǎn)評(píng)：此問重點(diǎn)考查了利用方程的思想先設(shè)出變量在利用條件進(jìn)行建立方程求解，還考查了橢圓的基本性質(zhì)和學(xué)生的運(yùn)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，綜合性強(qiáng)．