Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍，再將所得函數(shù)圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[-

π

2

，

5π

12

]時(shí)，求函數(shù)y=f（x+

π

12

）-

2

f（x+

π

3

）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖得到函數(shù)的四分之三周期，進(jìn)一步求得周期，代入周期公式求ω，然后利用五點(diǎn)作圖的第二點(diǎn)求得φ，再由f（0）=2求得A的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）由函數(shù)的周期變化和平移變換求得g（x），然后再由簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法求解g（x）的增區(qū)間；
（3）結(jié)合（1）中的f（x）的解析式求得y=f（x+

π

12

）-

2

f（x+

π

3

），利用三角恒等變換變形后根據(jù)x的范圍求最值．

解答： 解：（1）由圖可得，

3T

4

=

11π

6

-

π

3

=

3π

2

，
∴T=2π，則ω=

2π

T

=

2π

2π

=1．
由五點(diǎn)作圖的第二點(diǎn)知，1×

π

3

+φ=

π

2

，則φ=

π

6

．
∴f（x）=Asin（x+

π

6

），
又f（0）=Asin

π

6

=2，得A=4．
∴f（x）=4sin（x+

π

6

）；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍所得函數(shù)解析式
為y=4sin（2x+

π

6

），再將所得函數(shù)圖象向右平移

π

6

個(gè)單位，解析式變?yōu)閥=4sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]，
∴g（x）=4sin（2x-

π

6

）．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（3）y=f（x+

π

12

）-

2

f（x+

π

3

）
=4sin（x+

π

12

+

π

6

）-4

2

sin（x+

π

3

+

π

6

）
=4sin（x+

π

4

）-4

2

cosx
=4sinxcos

π

4

+4cosxsin

π

4

-4

2

cosx
=4sin（x-

π

4

）．
∵x∈[-

π

2

，

5π

12

]，
∴x-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

6

]，
∴函數(shù)y=f（x+

π

12

）-

2

f（x+

π

3

）的最小值為-4，最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的部分圖象求解析式，考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，訓(xùn)練了三角函數(shù)的圖象平移及三角恒等變換，是中檔題．