Question

在如圖所示的幾何體中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△BCD為等腰直角三角形，且BD=CD，AE=2，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：AC∥平面BDE；
（Ⅱ）求鈍二面角C-DE-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：第（1）問(wèn)，要證AC∥平面BDE，只需在平面BDE內(nèi)找一條直線與AC平行，考慮到“平面BCD⊥平面ABC，且△BCD為等腰直角三角形”，則取BC中點(diǎn)M，連接DM，則DM⊥平面ABC，且DM平行且等于

1

2

AE，再在△ABE中連接BE中點(diǎn)P與AB中點(diǎn)N，則PN平行且等于

1

2

AE，容易想到四邊形DMNP是平行四邊形，則再利用中位線定理結(jié)合平行四邊形性質(zhì)易證AC∥DP，則問(wèn)題獲證；
第（2）問(wèn)，由第（1）問(wèn)可得AM⊥BC，且△ABC是等邊三角形，且相關(guān)的線段長(zhǎng)度已知，因此可以以M為原點(diǎn)，AM為x軸，MB為y軸，MD為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合所求的二面角，給出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出兩個(gè)平面的法向量，兩個(gè)法向量的夾角（或補(bǔ)交）就是所求的二面角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）證明：分別取BC，BA，BE的中點(diǎn)M，N，P，
連接DM，MN，NP，DP，
則MN∥AC，NP∥AE，且NP=

1

2

AE=1，
∵△BCD是等腰直角三角形，且BD=CD，BC=2，
∴DM⊥BC，DM=1，
又平面BCD⊥平面ABC，∴DM⊥平面ABC，
又AE⊥平面ABC，∴DM∥AE，
∴DM∥NP，DM=NP，
∴平行四邊形DMNP為平行四邊形，
∴MN∥DP，∴AC∥DP，
又AC?平面BDE，DP?平面BDE，
∴AC∥平面BDE．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知DM⊥平面ABC，AM⊥BC，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz．
則B（0，1，0），C（0，-1，0），D（0，0，1），E（-

3

，0，2），
∴

BD

=(0，-1，1)，

DE

=(-

3

，0，1)，

CD

=(0，1，1)
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1

•

BD

=0，

n1

•

CD

=0，
∴

-y1+z1=0 - 3 x1+z1=0

，令x1=1，則

n1

=(1，

3

，

3

)，
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
則

n2

•

CD

=0，

n2

•

DE

=0，
∴

y2+z2=0 - 3 x2+z2=0

，令x₂=1，得

n2

=(1，-

3

，

3

)，
設(shè)鈍二面角C-DE-B為α，
則cosα=-

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=-

1

7

．

點(diǎn)評(píng)：利用空間向量求二面角幾乎每年必考的內(nèi)容，解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是利用垂直與對(duì)稱的關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，把已知的和所求的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，特別是關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把直線轉(zhuǎn)換成其方向向量，求出面的法向量，從而可以計(jì)算異面直線所成的角、線面角、二面角，同時(shí)要注意所求角的范圍．