Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|
（1）解不等式f（x）＜

x+1

2

（2）若f（x）-f（x+2）≤a對一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：選作題,不等式

分析：（1）f（x）＜

x+1

2

可化為|x-3|＜

x+1

2

，兩邊平方可得3x²-26x+35＜0，即可得出結(jié)論；
（2）由絕對值的意義可得|x-3|-|x-1|的最大值等于2，故有2≤a，由此即可得到答案..

解答： 解：（1）f（x）＜

x+1

2

可化為|x-3|＜

x+1

2

兩邊平方可得3x²-26x+35＜0，
∴（3x-5）（x-7）＜0，
∴

5

3

＜x＜7，
∴解集為{x|

5

3

＜x＜7}；     
（2）f（x）-f（x+2）≤a對一切實(shí)數(shù)恒成立，即|x-3|-|x-1|≤a對一切實(shí)數(shù)恒成立，
由于|x-3|-|x-1|表示數(shù)軸上x的對應(yīng)點(diǎn)到3對應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到1對應(yīng)點(diǎn)的距離，
故它的最大值等于2，故有2≤a，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．