過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于2,則這樣的直線( )
A.有且只有一條
B.有且只有兩條
C.有且只有三條
D.有且只有四條
【答案】
分析:過拋物線y
2=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),先看直線AB斜率不存在時(shí),橫坐標(biāo)之和等于1,不適合;若直線斜率存在時(shí),利用橫坐標(biāo)之和等于2,進(jìn)而設(shè)直線AB為y=k(x-1)與拋物線方程聯(lián)立消去y,進(jìn)而根據(jù)偉大定理表示出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和,進(jìn)而求得k.得出結(jié)論.
解答:解:過拋物線y
2=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),
若直線AB的斜率不存在,則橫坐標(biāo)之和等于1,不適合.
若直線斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的斜率為k,則直線AB為y=k(x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125241399110286/SYS201310251252413991102009_DA/0.png)
)
代入拋物線y
2=2x得,k
2x
2-(k
2+2)x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125241399110286/SYS201310251252413991102009_DA/1.png)
k
2=0
∵A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于2,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125241399110286/SYS201310251252413991102009_DA/2.png)
,k
2=2,k=±
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125241399110286/SYS201310251252413991102009_DA/3.png)
則這樣的直線有且僅有兩條,
故選B.
點(diǎn)評:本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用.解題的時(shí)候要注意討論直線斜率不存在時(shí)的情況,以免遺漏.