Question

過拋物線y²=2x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，則直線l的傾斜角θ(0＜θ≤

π

2

)等于（　　）

• A、

  π

  2

• B、

  π

  3

• C、

  π

  4

• D、

  π

  6

Answer 1

分析：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的方程，利用拋物線的定義表示出

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，再聯(lián)立直線與拋物線的方程利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題，即可得到答案．

解答：解：由題意可得：F（

1

2

，0）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
因?yàn)檫^拋物線y²=2x的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，
所以|AF|=

1

2

+x1，|BF|=

1

2

+x2．
又因?yàn)?span id="ewubl0n" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，
所以|AF|＜|BF|，即x₁＜x₂，并且直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y=k（x-

1

2

），
聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，
所以x1+x2=

k2+2

k2

，x1x2=

1

4

．
因?yàn)?span id="do3t01i" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，所以整理可得

(x1+x2)2-4x1x2

1 4 + 1 2 (x1+x2)+ x1x2

=1，
即整理可得k⁴-2k²-3=0，
所以解得k²=3．
因?yàn)?span id="ptoscw7" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0＜θ≤

π

2

，所以k=

3

，即θ=

π

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義，以及掌握直線與拋物線位置關(guān)系，并且結(jié)合準(zhǔn)確的運(yùn)算也是解決此類問題的一個(gè)重要方面．