Question

過拋物線y²=2x的對稱軸上的定點(diǎn)M（m，0），（m＞0），作直線AB交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（1）試證明A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；
（2）若△OAB的面積的最小值為4，求m的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)l_AB：x=ty+m代入y²=2x得y²-2ty-2m=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）從而可得，y₁y₂=-2m
（2）由于S△OAB=S△OAM+S△OBM=

1

2

m|y1|+

1

2

m|y2|=

m

2

|y1-y2|ll=

m

2

(y1+y2)2-4y1y2

，結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)可求m

解答：解：（1）設(shè)l_AB：x=ty+m代入y²=2x得y²-2ty-2m=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
△=4t²+8m＞0，y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2m
∵m為常數(shù)∴y₁•y₂=-2m為定值
（2）S△OAB=S△OAM+S△OBM=

1

2

m|y1|+

1

2

m|y2|=

m

2

|y1-y2|=

m

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

m

2

4t2+8m

≥

m

2

8m

=4
∴

m

2

8m

=4⇒m=2

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，常聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)的關(guān)系，而弦長公式|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵