Question

已知c＞0，且c≠1．設p：函數(shù)y=c^x在上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f（x）=x²-2cx+1在（

1

2

，+∞）上為增函數(shù)．
（1）若p為真，￢q為假，求實數(shù)c的取值范圍．
（2）若“p且q”為假，“p或q”為真，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,二次函數(shù)的性質,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

專題：

分析：利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性，分別求出p，q成立的等價條件，然后利用“p∧q”為假，“p∨q”為真，確定實數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：若p為真，
∵函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，
∴0＜c＜1（2分）
若q為真，
∵函數(shù)f（x）=x²-2cx+1在（

1

2

，+∞）上為增函數(shù)
f（x）對稱軸為x=c，
∴0＜c≤

1

2

 （4分）
（1）∵p為真，￢q為假，

0＜c＜1 c≤ 1 2

∴實數(shù)c的取值范圍是{c|0＜c≤

1

2

}（6分）
（2）又“p或q”為假，“p且q”為真，
∴p真q假或p假q真，
當p真q假時，

0＜c＜1 c＞ 1 2

即

1

2

＜c＜1
當p假q真時，

c＞1 0＜c＜ 1 2

即無解
實數(shù)c的取值范圍是{c|

1

2

＜c＜1}（12分）

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的真假關系的應用，先求出命題p，q成立的等價條件是解決此類問題的關鍵．