Question

一個袋中裝有若干個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率為

2

5

；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率為

7

9

．
（Ⅰ）若袋中共有10個球；
（1）求白球的個數(shù)；
（2）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）．
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于

7

10

．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件與對立事件

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）（1）記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，利用對立事件的概率計(jì)算公式能求出白球有5個．
（2）隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

．
（Ⅱ）設(shè)袋中有n個球，其中y個黑球，由題意得y=

2

5

n，由此能證明從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于

7

10

．

解答： （Ⅰ）解：（1）記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，
記袋中白球個數(shù)為x，則
P（A）=1-

C 2 10-x

C 2 10

=

7

9

，
解得x=5，
∴白球有5個．
（2）隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 2 5

C 3 10

=

5

12

，
P（ξ=2）=

C 2 5 C 1 5

C 3 10

=

5

12

，
P（ξ=3）=

C 3 5

C 3 10

=

1

12

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 12	5 12	5 12	1 12

∴Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

．
（Ⅱ）證明：設(shè)袋中有n個球，其中y個黑球，由題意得y=

2

5

n，
∴2y＜n，2y≤n-1，∴

y

n-1

≤

1

2

，
設(shè)“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球”為事件B，
則P（B）=

2

5

+

3

5

×

y

n-1

≤

2

5

+

3

5

×

1

2

=

7

10

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要注意排列組合知識的合理運(yùn)用．