Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，是否存在直線l，使得△BFM與△BFN的面積比值為2？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）△BFM與△BFN的面積比值為2等價(jià)于FM與FN比值為2，分類討論，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，消x并整理，利用韋達(dá)定理，根據(jù)FM與FN比值為2，即可求得直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2------------------（3分）
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1------------------（4分）
（Ⅱ）△BFM與△BFN的面積比值為2等價(jià)于FM與FN比值為2------------------（2分）
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，F(xiàn)M與FN比值為1，不符合題意，舍去；------------------（3分）
當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），
直線l的方程代入橢圓方程，消x并整理得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0------------------（5分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

6k

3+4k2

 ①，y₁y₂=-

9k2

3+4k2

②------------------（7分）
由FM與FN比值為2得y₁=-y₂③
由①②③解得k=±

5

2

，
因此存在直線l：y=±

5

2

（x-1）使得△BFM與△BFN的面積比值為2------------------（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，△BFM與△BFN的面積比值為2等價(jià)于FM與FN比值為2是關(guān)鍵．