Question

在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)向量

AB

=

a

，向量

AC

=

b

，
（1）證明A、O、E三點(diǎn)在同一條直線上，且

AO

OE

=

BO

OF

=

CO

OD

=2；
（2）用

a

，

b

表示

AO

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的平行四邊形法則和向量共線定理可得BO=2OF，CO=2OD．同理，假設(shè)CD與AE相交于點(diǎn)O′，可得點(diǎn)O與點(diǎn)O′重合．即可證明．
（2）利用向量的平行四邊形法則和（1）的結(jié)論即可得出．

解答： （1）證明：∵D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，
∴

OC

+

OA

=2

OF

，

OA

+

OB

=2

OD

，
∴2

OF

+

OB

=2

OD

+

OC

．
∵B，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，C，O，D三點(diǎn)共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得

OB

=λ

FO

，

OC

=μ

DO

，
∴

OF

(2-λ)=

OD

(2-μ)，
∵

OF

與

OD

不共線，
∴2-λ=2-μ=0，解得λ=μ=2．
∴BO=2OF，CO=2OD．
同理，假設(shè)CD與AE相交于點(diǎn)O′，則CO′=2O′D，AO′=2O′E．
因此點(diǎn)O與點(diǎn)O′重合．
∴A、O、E三點(diǎn)在同一條直線上，且

AO

OE

=

BO

OF

=

CO

OD

=2．
（2）由（1）可得

AO

=

2

3

AE

，

AE

=

1

2

(

AC

+

AB

)=

1

2

(

b

+

a

)．
∴

AO

=

1

3

(

a

+

b

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的重心定理及其應(yīng)用、向量的平行四邊形法則等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．