Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足：S_n=2a_n-2n（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），求數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）（理科）若12T_n＞m²-5m對(duì)所有的n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a_n=2a_n-2a_n-1-2，由此能證明{a_n+2}是以a₁+2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）由已知條件得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出T_n．
（3）n=1時(shí)，Tn 取最小值T1=

3

2

-

1+3

21+1

=

1

2

，∴依題意有

1

2

＞

1

12

(m2-5m)恒成立，由此能求出m的取值范圍．

解答： （1）證明：當(dāng)n∈N^*時(shí)，S_n=2a_n-2n，①
當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
∴a_n=2a_n-1+2，∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴

an+2

an-1+2

=2．
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=6，
∴{a_n+2}是以a₁+2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知∴a_n+2=4•2^n-1，∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
∴b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
則T_n=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，③

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，④
③-④，得

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+1

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

，
∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．
（3）解：∵12T_n＞m²-5m對(duì)所有的n∈N^*恒成立，
∴T_n＞

1

12

（m²-5m）對(duì)所有的n∈N^*恒成立，
∵n=1時(shí)，Tn 取最小值T1=

3

2

-

1+3

21+1

=

1

2

，
∴依題意有

1

2

＞

1

12

(m2-5m)恒成立，
解得-1＜m＜6．
∴m的取值范圍是（-1，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．