Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．
（1）求a1的值，并用an﹣1表示an；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)Tn= + + +…+ ，求證：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn=（n+2）an﹣1（n∈N*）．

令n=1時(shí)，2S1=3a1﹣1，

解得：a1=1

由于：2Sn=（n+2）an﹣1①

所以：2Sn+1=（n+3）an+1﹣1②

②﹣①得：2an+1=（n+3）an+1﹣（n+2）an，

整理得： ，

則： ，

即： ．

（2）解：由于： ，

則： ，…， ，

利用疊乘法把上面的（n﹣1）個(gè)式子相乘得： ，

即：

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1符合上式，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是： ．

（3）證明：由于： ，

所以： ，

則： =2（ ），

所以： …+

=

=2（ ） = ．

【解析】（1）首先利用賦值法求出數(shù)列的首項(xiàng)，進(jìn)一步建立數(shù)列an﹣1和an間的聯(lián)系；（2）利用疊乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．