【題目】已知f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集為(0,5).
(1)求b,c的值;
(2)若對任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范圍.

【答案】
(1)解:因為f(x)=2x2+bx+c,所以不等式f(x)<0即為2x2+bx+c<0,

由不等式2x2+bx+c<0的解集為(0,5),

所以方程2x2+bx+c=0的兩個根為0和5,

所以


(2)解:由(1)知:f(x)=2x2﹣10x,

所以“對任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立”等價于

“對任意x∈[﹣1,1],不等式2x2﹣10x+t≤2恒成立”,

即:對任意x∈[﹣1,1],不等式t≤﹣2x2+10x+2恒成立,

所以t≤(﹣2x2+10x+2)min,x∈[﹣1,1],

令g(x)=﹣2x2+10x+2,x∈[﹣1,1],

所以g(x)=﹣2x2+10x+2在[﹣1,1]上為增函數(shù),

所以gmin(x)=g(﹣1)=﹣10,

所以t≤﹣10,即t的取值范圍為(﹣∞,﹣10].

另解:由(Ⅰ)知:f(x)=2x2﹣10x,

所以“對任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立”等價于

“對任意x∈[﹣1,1],不等式2x2﹣10x+t﹣2≤0恒成立”,

令g(x)=2x2﹣10x+t﹣2,x∈[﹣1,1],則gmax(x)≤0,x∈[﹣1,1],

因為g(x)=2x2﹣10x+t﹣2在[﹣1,1]上為減函數(shù),

所以gmax(x)=g(﹣1)=10+t≤0,

所以t≤﹣10,即t的取值范圍為(﹣∞,﹣10].


【解析】(1)由題意可得方程2x2+bx+c=0的兩個根為0和5,由韋達(dá)定理,解方程可得b,c的值;(2)由題意可得對任意x∈[﹣1,1],不等式2x2﹣10x+t≤2恒成立,即對任意x∈[﹣1,1],不等式t≤﹣2x2+10x+2恒成立,所以t≤(﹣2x2+10x+2)min , x∈[﹣1,1],由二次函數(shù)的單調(diào)性可得最小值,即可得到所求范圍; 另外:令g(x)=2x2﹣10x+t﹣2,x∈[﹣1,1],求得g(x)的單調(diào)性和最大值,即可得到所求范圍.

練習(xí)冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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(1)求 的坐標(biāo);
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