Question

已知函數(shù)f(x)=ax³+sinθx²-2x+c過(guò)點(diǎn)(1，)，且在(-2，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在[1，+∞)上單調(diào)遞增．

(1)證明：sinθ=1，并求f(x)的解析式；

(2)若對(duì)于任意的x₁，x₂∈[m，m+3](m≥0)，不等式|f(x₁)-f(x₂)|≤恒成立，這樣的m是否存在?若存在，請(qǐng)求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

(3)已知數(shù)列{a_n}中，a₁∈(0，1)，a_n+1=f(a_n)，求證：a_n+1＞81na_n(n∈N^*)．

Answer 1

答案：(1)∵f′(x)=3ax²+sinθx-2

由題設(shè)可知：，即

∴sinθ≥1

∴sinθ=1．

從而a=，∴f(x)=x³+x²-2x+c，

而又由f(1)=得，c=

∴f(x)=x³+x²-2x+即為所求．

(2)f′(x)=x²+x-2=(x+2)(x-1)

易知f(x)在(-∞，-2)及(1，+∞)上均為增函數(shù)，在

(-2，1)上為減函數(shù)．

①當(dāng)m＞1時(shí)，f(x)在[m，m+3]上遞增．故f(x)_max=f(m+3)，f(x)_min=f(m)

由f(m+3)-f(m)=(m+3)³+(m+3)²-2(m+3)m²m²+2m=3m²+12m+≤

解得-5≤m≤1．這與條件矛盾，故舍．

②當(dāng)0≤m≤1時(shí)，f(x)在[m，1]上遞減，在[1，m+3]上遞增．

∴f(x)_min=f(1)，f(x)_max={f(m)，f(m+3)}_max

又f(m+3)-f(m)=3m²+12m+=3(m+2)²＞0(0≤m≤1)，∴f(x)_max=f(m+3)

∴|f(x₁)-f(x₂)|≤f(x)_max-f(x)_min=f(m+3)-f(1)≤f(4)-f(1)=恒成立

故當(dāng)0≤m≤1時(shí)，原式恒成立．

綜上，存在m∈[0，1]合乎題意．

(3)∵a₁∈(0，1]，∴a₂∈[)，故a₂＞2

假設(shè)n=k(k≥2，k∈N^*)時(shí)，a_k＞2．

則a_k+1=f(a_k)＞f(2)=8＞2

故對(duì)于一切n(n≥2，n∈N^*)均有an＞2成立．

令g(x)=x³+x²-2x+-8lnx

得g′(x)=x²+x-2(x²+3x+4)

當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，g′(x)＜0；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，g′(x)＞0，

∴g(x)在x∈[2，+∞)時(shí)為增函數(shù)．

而g(2)=8-81n2＞0，即當(dāng)x∈[2，+∞)時(shí)，g(x)≥g(2)＞0恒成立．

∴g(a_n)＞0(n≥2)也恒成立．

即a_n+1＞81na_n(n≥2)恒成立．

而當(dāng)n=1時(shí)，a₂=8，而8lna₁≤0，

∴a₂＞8lna₁顯然成立．

綜上，對(duì)一切n∈N^*均有a_n+1＞8lna_n成立．