Question

5．已知函數(shù)f（x）=xa^x（a＞0且a≠1）有極大值$\frac{1}{2e}$，則a=$\frac{1}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，判斷l(xiāng)na＜0，求得增區(qū)間和減區(qū)間，得到極大值點和極大值，由對數(shù)的運算性質(zhì)，計算即可得到a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=xa^x（a＞0且a≠1）的導數(shù)為
f′（x）=a^x+xa^xlna=a^x（1+xlna），
由于f（x）有極大值$\frac{1}{2e}$，則lna＜0，
當x＜-$\frac{1}{lna}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x＞-$\frac{1}{lna}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=-$\frac{1}{lna}$時，取得極大值，
且為-$\frac{1}{lna}$•${a}^{-\frac{1}{lna}}$=-$\frac{1}{lna}$•$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{2e}$，
解得a=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
故答案為：$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查運算能力，正確求導和判斷極值是解題的關(guān)鍵．