Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）當a=1時，求f（x）的極值；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求得a=1的函數(shù)的導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；
（2）令y=0，進行變形lnx=ax，即a=$\frac{lnx}{x}$，令 g（x）=$\frac{lnx}{x}$，利用導數(shù)的方法，研究其單調(diào)性及最大值，從而討論a的范圍，進而得到零點的個數(shù)．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=lnx-x，x＞0，
導數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
即有x=1處取得極大值，且為-1；
無極小值；
（2）令f（x）=lnx-ax=0，則a=$\frac{lnx}{x}$，
令 g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
解g′（x）=0得x=e．
則g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，
在（e，+∞）上單調(diào)遞減
當x=e時，g（x）的最大值為g（e）=$\frac{1}{e}$，
g（x）的圖象如右圖．
即有當a＞$\frac{1}{e}$時，f（x）無零點；
當0＜a＜$\frac{1}{e}$時，y=a和y=g（x）兩個交點，f（x）有兩個零點；
當a=$\frac{1}{e}$或a≤0，y=a和y=g（x）一個交點，f（x）有一個零點．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)的零點的判斷方法：數(shù)形結(jié)合，屬于中檔題．