Question

17．已知函數(shù)f（x）=log₂（1-x），g（x）=log₂（x+1），設(shè)F（x）=f（x）-g（x）
（1）判斷函數(shù)F（x）的奇偶性；
（2）證明函數(shù)F（x）是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{x+1}$，可求出該函數(shù)的定義域為（-1，1），然后可以求出F（-x）=-F（x），這便得出該函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）可通過減函數(shù)的定義證明，設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，然后作差，證明F（x₁）＞F（x₂）即可．

解答 解：（1）F（x）=$lo{g}_{2}（1-x）-lo{g}_{2}（x+1）=lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$；
解$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
∴F（x）的定義域為（-1，1）；
F（-x）=$lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}=lo{g}_{2}（\frac{1-x}{1+x}）^{-1}$=-F（x）；
∴F（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則：
F（x₁）-F（x₂）=$lo{g}_{2}\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}-lo{g}_{2}\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=$lo{g}_{2}\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1-{x}_{2}）（1+{x}_{1}）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0；
∴$\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}＞1，\frac{1+{x}_{2}}{1+{x}_{1}}＞1$；
∴$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1-{x}_{2}）（1+{x}_{1}）}＞1$；
∴F（x₁）-F（x₂）＞0；
即F（x₁）＞F（x₂）；
∴F（x）在定義域上是減函數(shù)．

點評 考查對數(shù)的真數(shù)需大于0，函數(shù)定義域的概念，奇函數(shù)的定義及判斷方法，對數(shù)的運算，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明函數(shù)為減函數(shù)的方法．