Question

如圖在四棱錐P-ABCD中底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)M、N分別是BC、PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2
（1）證明：平面PBC⊥平面AMN；
（2）在線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）要證面面垂直，先證線與面垂直，只要證明線與面上的兩條相交線垂直，找面上的兩條線，根據(jù)四邊形是一個(gè)菱形，從菱形出發(fā)找到一條，再?gòu)腜A⊥平面ABCD，得到結(jié)論
（2）對(duì)于這種是否存在的問(wèn)題，首先要觀察出結(jié)論，再進(jìn)行證明，根據(jù)線面平行的判定定理，利用中位線確定線與線平行，得到結(jié)論．

解答：證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，即NA⊥BC，
又∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)
∴AM⊥BC
又∵AM∩NA=A
∴BC⊥平面AMN
∵BC?平面PBC
∴平面PBC⊥平面AMN；
解：（2）（III）存在點(diǎn)E，
取PD中點(diǎn)E，連接NE，EC，AE，
∵N，E分別為PA，PD中點(diǎn)，
∴NE∥AD，且NE=

1

2

AD，
又在菱形ABCD中，CM∥AD，CM=

1

2

AD，
∴NE∥CM，且NE=CMMC，即MCEN是平行四邊形
∴NM∥EC，
又EC?平面ACE，NM?平面ACE
∴MN∥平面ACE，
即在PD上存在一點(diǎn)E，使得NM∥平面ACE，
此時(shí)PE=

1

2

PD=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，是一個(gè)非常適合作為高考題目出現(xiàn)的問(wèn)題，題目包含的知識(shí)點(diǎn)比較全面，重點(diǎn)突出，是一個(gè)好題