Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|2x-a|，a∈R．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式f（x）＞0；
（2）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式

分析：對(duì)第（1）問(wèn)，將a=3代入f（x）＞0中，讓絕對(duì)值符號(hào)分布在不等式兩邊，平方后解一元二次不等式即可．
對(duì)第（2）問(wèn)，先由x∈（-∞，2）去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，再用a表示不等式f（x）＜0的解，最后可通過(guò)數(shù)軸分析此解與x∈（-∞，2）的關(guān)系，從而得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，由f（x）＞0，得|x-2|-|2x-a|＞0，
即|x-2|＞|2x-3|，
兩邊同時(shí)平方得（x-2）²＞（2x-3）²，
展開(kāi)整理得3x²-8x+5＜0，即（3x-5）（x-1）＜0，
∴原不等式的解集為(1，

5

3

)．
（2）當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，由f（x）＜0，得2-x-|2x-a|＜0，
即|2x-a|＞2-x，從而x＞

a+2

3

或x＜a-2，
故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：a為何值時(shí)，由x∈（-∞，2）⇒x＞

a+2

3

或x＜a-2，
由數(shù)軸得2≤a-2，即a≥4．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查含兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式的解法，及如何處理含參數(shù)的絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握其轉(zhuǎn)化技巧．
2．處理“x∈（-∞，2）”與“x＞

a+2

3

或x＜a-2”的關(guān)系時(shí)，利用數(shù)軸順利求解，這是處理數(shù)集之間關(guān)系的常用手段之一．