Question

已知函數(shù)f(x)=ax-2lnx，f(1)=0.

(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且a_n+1=f′()-na_n+1.

①若a₁≥3，求證：a_n≥n+2；

②若a₁=4，試比較與的大小，并說(shuō)明你的理由.

Answer 1

解：(1)∵f(1)=a-b=0,∴a=b.

∴f′(x)=a+.要使函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在(0,+∞)內(nèi)f′(x)=a+= 恒大于零，或恒小于零.

1°  當(dāng)a＞0時(shí)，則有f′(x)=a()²+a＞0恒成立，即a＞0，即a＞1；

2°  當(dāng)a＜0時(shí)，

令t=，則f′(x)=g(t)=a(t)²+a的對(duì)稱軸為t=＜0.

∴f′(x)=g(t)在(0,+∞)內(nèi)遞減，

∴f′(x)＜g(0)=a＜0恒成立；

所以當(dāng)a＜0時(shí),有f′(x)=a()²+a＜0恒成立.

3°  當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=在(0,＋∞)上恒有f′(x)＜0.

綜合1°、2°、3°可知所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＞1或a≤0.                      

(2)∵函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為0，∴f′(1)=0，即a+a-2=0，解得a=1.

∴f′(x)=(-1)²，

∴a_n+1=f′()-na_n+1=a_n²-na_n+1.

①用數(shù)學(xué)歸納法證明：(i)當(dāng)n=1時(shí)，a₁≥3=1+2，不等式成立；(ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a_k≥k+2，那么a_k-k≥2＞0，

∴a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥2(k+2)+1=(k+3)+k+2＞k+3，這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1≥(k+1)+2.根據(jù)(i)和(ii)，對(duì)于所有n≥1，有a_n≥n+2.

②由a_n+1=a_n(a_n-n)+1及①，對(duì)k≥2，有a_k=a_k-1(a_k-1-k+1)+1≥a_k-1(k-1+2-k+1)+1=2a_k-1+1，

∴a_k+1≥2(a_k-1+1)≥2²(a_k-2+1)≥2³(a_k-3+1)≥…≥2^k-1(a₁+1).

而，于是當(dāng)k≥2時(shí)，，

∴

=.