Question

如圖所示，拋物線y²=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積.

Answer 1

直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.

由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.
由方程組,消去y,得x²+(2m－4)x+m²="0                    "         ①
∵直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，
∴方程①的判別式Δ=(2m－4)²－4m²=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)
設(shè)M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)則x₁+x₂=4－2m，x₁·x₂=m²,
∴|MN|=4.
點(diǎn)A到直線l的距離為d=.
∴S_△=2(5+m),從而S_△²=4(1－m)(5+m)²
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()³=128.
∴S_△≤8,當(dāng)且僅當(dāng)2－2m=5+m,即m=－1時(shí)取等號(hào).
故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.