Question

已知函數(shù)f(x)=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值。
（1）求函數(shù)f(x)的解析式；
（2）求證：對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4；
（3）若過點A（1，m）（m ≠-2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數(shù)m的范圍。

Answer 1

解：（1）=3ax²+2bx-3，
依題意，f′(1)=f′(-1)=0，
即解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x。
（2）∵f(x)=x³-3x，
∴f ′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，
當(dāng)-1＜x＜1時，f ′(x)＜0，故f(x)在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，
f_max(x)=f(-1)=2，f_min(x)=f(1)=-2，
∵對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都有|f(x₁)-f(x₂)|≤|f_max(x) -f_min(x)|，
∴ |f(x₁)-f(x₂)|≤|f_max(x)-f_min(x)|=2-(-2)=4。
（3）f′(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，
∵曲線方程為y=x³-3x，
∴點A（1，m）不在曲線上，
設(shè)切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標(biāo)滿足，
因，故切線的斜率為，
整理得，
∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，
設(shè)，則，
由，得x₀=0或x₀=1，
∴g(x₀)在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)的極值點為x₀=0，x₀=1，
∴關(guān)于x₀方程有三個實根的充要條件是，解得-3＜m＜-2，
故所求的實數(shù)a的取值范圍是-3＜m＜-2。