Question

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)之為塹堵；將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬；將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑[biē nào]．某學(xué)�？茖W(xué)小組為了節(jié)約材料，擬依托校園內(nèi)垂直的兩面墻和地面搭建一個(gè)塹堵形的封閉的實(shí)驗(yàn)室，是邊長(zhǎng)為2的正方形．

（1）若是等腰三角形，在圖2的網(wǎng)格中（每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形）畫(huà)出塹堵的三視圖；

（2）若，在上，證明：，并回答四面體是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)陽(yáng)馬的體積最大時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)其幾何體特征,即可畫(huà)出其三視圖.

（2）證明,結(jié)合,即可得到面,進(jìn)而可證明.

（3）陽(yáng)馬的體積為:,根據(jù)均值不等式可得: (取得等號(hào)),即可求得.以點(diǎn)為頂點(diǎn),以底面求三棱錐體積, 在以點(diǎn)為頂點(diǎn),以底面求三棱錐體積.利用等體積法即可求得點(diǎn)到平面的距離.

（1）畫(huà)出塹堵的三視圖:

（2）

如圖,連接和.

由題意可知:面 ,在平面

又

面 故: ,可得為直角三角形.

由題意可知,,都是直角三角形.

四面體四個(gè)面都是直角三角形,故四面體是鱉臑.

（3）

在中,

根據(jù)均值不等式可得: (取得等號(hào))

由題意可知,面

陽(yáng)馬的體積為:

(取得等號(hào))

以為頂點(diǎn),以底面求三棱錐體積:

,設(shè)到面距離為

以為頂點(diǎn),以底面求三棱錐體積:

解得: