Question

下列命題中正確的是

 

（寫出所有正確命題的序號）
①在直角三角形中，三條邊的長成等差數(shù)列的充要條件是它們的比為3：4：5；
②設(shè)S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，則公比q=-

3 4

2

是數(shù)列S₃，S₉，S₆成等差教列的充分不必要條件；
③若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_ncos

nπ

2

，則a₂₀₁₀=0；
④在數(shù)列{a_n}中，若a₁，a₂都是正整數(shù)，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5…，則稱{a_n}為“絕對差數(shù)列”，則此數(shù)列中必含有為0的項．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：①直角三角形中，三條邊的長成等差數(shù)列，得出三邊之比為3：4：5，判斷充分性，三邊之比為3：4：5，得出三邊成等差數(shù)列，必要性成立；
②等比數(shù)列{a_n}中，S₃，S₉，S₆成等差教列的充要條件是公比q=-

3 4

2

；
③數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_ncos

nπ

2

，能得出a₂₀₁₀=0；
④數(shù)列{a_n}中，若a₁，a₂都是正整數(shù)，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，得出數(shù)列{a_n}必在有限項后出現(xiàn)0項．

解答： 解：對于①，在直角三角形中，三條邊的長成等差數(shù)列，不妨設(shè)三邊長為a-d，a，a+d（d＞0），
由勾股定理得：（a-d）²+a²=（a+d）²，解得d=

1

4

a，
∴三邊長為：

3

4

a，a，

5

4

a，
即三邊從小到大之比為3：4：5；
∴三條邊的長成等差數(shù)列的充要條件是它們的比為3：4：5，∴①正確；
對于②，∵S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，設(shè)數(shù)列的首項為a₁、公比為q，
當(dāng)公比q=1時，S₃+S₆=9a₁，2S₉=18a₁，等式S₃+S₆=2S₉不成立，∴公比不等于1；
當(dāng)公比q≠1時，∵S₃+S₆=2S₉，
∴

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

2a1(1-q9)

1-q

，
化簡得2q⁶-q³-1=0，解關(guān)于q³的方程得 q³=-

1

2

，或q³=1（舍去），
∴q=-

3 4

2

，∴是數(shù)列S₃，S₉，S₆成等差教列的充要條件，②錯誤；
對于③，數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_ncos

nπ

2

，
∴a₂=a₁cos

π

2

=0，
a₃=a₂cosπ=0，
a₄=a₃cos

3π

2

=0，…，
∴a₂₀₁₀=0，③正確；
對于④，在數(shù)列{a_n}中，若a₁，a₂都是正整數(shù)，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5…，則稱{a_n}為“絕對差數(shù)列”，
根據(jù)定義，數(shù)列{a_n}必在有限項后出現(xiàn)0項，證明如下：
假設(shè){a_n}中沒有0項，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，
∴對于的n，都有a_n≥1，從而
當(dāng)a_n-1＞a_n-2時，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1（n≥3）
當(dāng)a_n-1＜a_n-2時，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1（n≥3）
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1；
令c_n=

a2n-1(a2n-1＞a2n) a2n(a2n-1＜a2n)

，n=1，2，3，…，
則0＜c_n≤c_n-1-1（n=2，3，4，…），由于c₁是確定的正整數(shù)，
這樣減下去，必然存在某項c₁＜0，
這與c_n＞0（n=1，2，3，4，…）矛盾，
從而{a_n }必有0項．
若第一次出現(xiàn)的0項為第n項，
記a_n-1=A（A≠0），則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A，
即

an+3k=0 an+3k+1=A an+3k+2=A

，k=0，1，2，3，…；
∴“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項；④正確；
綜上，正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了等差與等比數(shù)列的綜合運用問題，解題時應(yīng)根據(jù)題意，對每一個選項進(jìn)行分析，以便得出正確的結(jié)論，是難題．