【題目】已知、分別是橢圓的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)軸時(shí), .
(1)求橢圓的離心率;
(2)若橢圓存在點(diǎn),使得四邊形是平行四邊形(點(diǎn)在第一象限),求直線與的斜率之積;
(3)記圓為橢圓的“關(guān)聯(lián)圓”. 若,過(guò)點(diǎn)作橢圓的“關(guān)聯(lián)圓”的兩條切線,切點(diǎn)為、,直線的橫、縱截距分別為、,求證: 為定值.
【答案】(1);(2);(3)見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:
(1)利用題意得到關(guān)于的齊次方程,求解方程組可得橢圓的離心率;
(2) 由題意, , ,則,結(jié)合(1)的結(jié)論可得.
(3) 由(1)知橢圓方程為,圓的方程為.
四邊形的外接圓方程為,
所以,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,則.
試題解析:
解:(1)由軸,知,代入橢圓的方程,
得,解得.
又,所以,解得.
(2)因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形,所以且軸,
所以,代入橢圓的方程,解得, 因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限,所以,同理可得, , 所以,
由(1)知,得,所以.
(3)由(1)知,又,解得,所以橢圓方程為,
圓的方程為 ①. 連接,由題意可知, , ,
所以四邊形的外接圓是以 為直徑的圓,
設(shè),則四邊形的外接圓方程為,
即 、. ①-②,得直線的方程為,
令,則;令,則. 所以,
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin2( +x)+ (sin2x﹣cos2x),x∈[ , ].
(1)求 的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若不等式|f(x)﹣m|<2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面四邊形是矩形,平面,分別是的中點(diǎn),.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的大;
(3)若,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面底面,,,平分,為的中點(diǎn),,,,,分別為上一點(diǎn),且.
(1)若,證明:平面.
(2)過(guò)點(diǎn)作平面的垂線,垂足為,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一兒童游樂(lè)場(chǎng)擬建造一個(gè)“蛋筒”型游樂(lè)設(shè)施,其軸截面如圖中實(shí)線所示. 是等腰梯形, 米, (在的延長(zhǎng)線上, 為銳角). 圓與都相切,且其半徑長(zhǎng)為米. 是垂直于的一個(gè)立柱,則當(dāng)的值設(shè)計(jì)為多少時(shí),立柱最矮?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,橢圓的右頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)點(diǎn)
且斜率為的直線與軸交于點(diǎn), 與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn),且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)且斜率大于的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(),若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了某種高新科技產(chǎn)品,現(xiàn)已進(jìn)入實(shí)驗(yàn)階段.已知實(shí)驗(yàn)的啟動(dòng)資金為10萬(wàn)元,從實(shí)驗(yàn)的第一天起連續(xù)實(shí)驗(yàn),第天的實(shí)驗(yàn)需投入實(shí)驗(yàn)費(fèi)用為元,實(shí)驗(yàn)30天共投入實(shí)驗(yàn)費(fèi)用17700元.
(1)求的值及平均每天耗資最少時(shí)實(shí)驗(yàn)的天數(shù);
(2)現(xiàn)有某知名企業(yè)對(duì)該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行贊助,實(shí)驗(yàn)天共贊助元.為了保證產(chǎn)品質(zhì)量,至少需進(jìn)行50天實(shí)驗(yàn),若要求在平均每天實(shí)際耗資最小時(shí)結(jié)束實(shí)驗(yàn),求的取值范圍.(實(shí)際耗資=啟動(dòng)資金+試驗(yàn)費(fèi)用-贊助費(fèi))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(,且),(其中為的導(dǎo)函數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的極大值點(diǎn);
(Ⅱ)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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