Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=|2sinx+m|（m為常數(shù)且m∈R），有下列結(jié)論：
①m=0是函數(shù)f（x）周期為π的充要條件；
②m＞0是函數(shù)f（x）周期為2π的充分不必要條件；
③存在唯一的一組常數(shù)m、k，使得函數(shù)g（x）=f（x）-k（x＞0）的零點從小到大排列成公差為2π的等差數(shù)列；
④存在常數(shù)m、k，使得函數(shù)g（x）=f（x）-k（x＞0）的零點從小到大排列成公差為

2π

3

的等差數(shù)列；
⑤存在常數(shù)m、k，使得函數(shù)g（x）=f（x）（x＞0）的零點從小到大排列成公差為

π

3

的等差數(shù)列；
其中正確結(jié)論的序號為

 

（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一核對五個命題，即可得出結(jié)論．

解答： 解：①若m=0，則f（x）=|2sinx|，函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
若函數(shù)f（x）周期為π，則|2sin（x+π）+m|=|-2sinx+m|=|2sinx+m|，m=0，故命題①正確；
②若m＞0，則f（x）=2sinx+m或f（x）=-2sinx-m，函數(shù)的周期為2π，若函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，則m≠0，
∴m＞0是函數(shù)f（x）周期為2π的充分不必要條件，故命題②正確；
③m=±2、k=0使得函數(shù)g（x）=f（x）-k（x＞0）的零點從小到大排列成公差為2π的等差數(shù)列，故命題③不正確；
④當m≠0時，函數(shù)f（x）的周期為2π，當函數(shù)圖象如圖所示時，

在一個周期內(nèi)一定存在m，k，使得f（x₀）=f(x0+

2π

3

)=f(x0+

4π

3

)．
∴存在常數(shù)m、k使得函數(shù)g（x）=f（x）-k（x＞0）的零點從小到大排列成公差為2π的等差數(shù)列，命題④正確；
⑤∵當m=0時，函數(shù)f（x）的周期為π，當m≠0時，函數(shù)周期為2π，直線y=k與f（x）在一個周期內(nèi)有交點時，不會滿足交點橫坐標相差

π

3

．
∴命題⑤錯誤．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法，是中檔題．