已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F（
5
，0），以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線
3
x-y+4=0相切，A，B分別是橢圓短軸的兩個端點，P為橢圓C上的動點，且不與A，B重合．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若P均不與A，B重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為kAP，kBP，試問kAP•kBP的值是否為定值，若是，求出這個定值，若不是請說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a2-b2=5，b=
|
3
×0-0+4|
(
3
)2+1
=2，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由已知條件知A、B點坐標分別是（0，2），（0，-2），設(shè)P點坐標為（x0，y0），則
4-y02
x02
=
4
9
，由此能求出kPA•kPB為定值．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F（
5
，0），
∴c=
5
，a2-b2=5，
又∵以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線
3
x-y+4=0相切，
∴原點到直線
3
x-y+4=0的距離為b=
|
3
×0-0+4|
(
3
)2+1
=2，
∴a2=9，
∴所求橢圓方程為
x2
9
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）∵A，B分別是橢圓
x2
9
+
y2
4
=1短軸的兩個端點，
∴A、B點坐標分別是（0，2），（0，-2），
設(shè)P點坐標為（x0，y0），則
x02
9
+
y02
4
=1，∴
4-y02
x02
=
4
9
，
∴kPA•kPB=
y0-2
x0
•
y0+2
x0
=-
4-y02
x02
=-
4
9
．
∴kPA•kPB為定值-
4
9
．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量值是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=6，求△ABC的周長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

程序框圖如圖所示：如果上述程序運行的結(jié)果S=1320，那么判斷框中應(yīng)填入
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（
2
，
2
2
）且離心率為
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知A、B是橢圓C的左、右頂點，動點M滿足MB⊥AB，連接AM交橢圓于點P，在x軸上是否存在異于點A、B的定點Q，使得以MP為直徑的圓經(jīng)過直線BP和直線MQ的交點，若存在，求出Q點，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，
3
2
），且其右焦點與拋物線C2：y2=4x的焦點F重合，過點F且與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于P，Q兩點．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)O為坐標原點，線段OF上是否存在點N（n，0），使得
QP
•
NP
=
PQ
•
NQ
？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，說明理由；
（3）過點P0（4，0）且不垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點，點B關(guān)于x軸的對稱點為E，試證明：直線AE過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在[-2，2]上任取一個數(shù)，代入三個函數(shù)f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x 
1
3
的計算程序，得到y(tǒng)1，y2，y3三個值，接著自動將它們輸入下一個程序（對應(yīng)程序框圖如圖），則輸出的結(jié)果為y3的概率是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

方程sinx+
3
cosx=1在閉區(qū)間[0，2π]上的所有解的和等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在極坐標系中，圓ρ=2cosθ的直徑等于
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

關(guān)于函數(shù)f（x）=|2sinx+m|（m為常數(shù)且m∈R），有下列結(jié)論：
①m=0是函數(shù)f（x）周期為π的充要條件；
②m＞0是函數(shù)f（x）周期為2π的充分不必要條件；
③存在唯一的一組常數(shù)m、k，使得函數(shù)g（x）=f（x）-k（x＞0）的零點從小到大排列成公差為2π的等差數(shù)列；
④存在常數(shù)m、k，使得函數(shù)g（x）=f（x）-k（x＞0）的零點從小到大排列成公差為
2π
3
的等差數(shù)列；
⑤存在常數(shù)m、k，使得函數(shù)g（x）=f（x）（x＞0）的零點從小到大排列成公差為
π
3
的等差數(shù)列；
其中正確結(jié)論的序號為
 
（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）．

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