Question

（本題滿分12分）如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C。
（1）求證：FB＝FC；
（2）若AB是△ABC的外接圓的直徑，∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的長(zhǎng)。

Answer 1

證明：見(jiàn)解析；（2）.

本試題主要是考查了圓內(nèi)的性質(zhì)的運(yùn)用，以及直角三角形中邊角關(guān)系的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)锳D平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.
因?yàn)樗倪呅蜛FBC內(nèi)接于圓，所以，所以，
所以，所以FB＝FC.
（2）因?yàn)锳B是△ABC的外接圓的直徑，則所對(duì)的圓周角為直角，然后利用圓周角定理得到邊長(zhǎng)。
證明：因?yàn)锳D平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.
因?yàn)樗倪呅蜛FBC內(nèi)接于圓，所以，所以，
所以，所以FB＝FC.    
（2）解：因?yàn)锳B是△ABC的外接圓的直徑，所以.
因?yàn)?sub>=，所以，.  
在Rt△ACB中，因?yàn)锽C＝6，，所以. 
又在Rt△ACD中，，，所以.