Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．

求證：平面BDEF；

求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2) .

【解析】

分析：（1））設與相交于點，連接，由菱形的性質可得，由等腰三角形的性質可得，利用線面垂直的判定定理可得結果；(2)先證明平面.

可得，，兩兩垂直，以，，建立空間直角坐標系，求出，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結果.

詳解：（1）設與相交于點，連接，

∵四邊形為菱形，∴，且為中點，

∵，∴，

又，∴平面.

（2）連接，∵四邊形為菱形，且，∴為等邊三角形，

∵為中點，∴，又，∴平面.

∵，，兩兩垂直，∴建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，∵四邊形為菱形，，∴，.

∵為等邊三角形，∴.

∴，，，，

∴，，.

設平面的法向量為，則，

取，得.設直線與平面所成角為，

則.